Задание 14 из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень). Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер АА1 и А1С1соответственно.
а) докажите, что прямые ВМ и МN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями ВМN и АВВ1.
Решение. а) В треугольнике АВС проведём медиану ВН. Так как треугольник равносторонний, то ВН является и высотой. Тогда из треугольника АВН найдём квадрат катета ВН по теореме Пифагора ВН2=АВ2– АН2 = 36 – 9 = 27.
Далее мы видим, что треугольник ВНN – прямоугольный, так как НN параллельна АА1, а значит перпендикулярна плоскости АВС и любой прямой лежащей в этой плоскости. Из треугольника ВНN по теореме Пифагора ВN2=ВН2 + NН2= 27 + 36 = 63.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ. По теореме Пифагора ВМ2=АВ2+ АМ2 = 36 + 9 = 45. А из прямоугольного треугольника А1МN по теореме Пифагора МN2=А1М2 + А1N2= 9 + 9 = 18.
По результатам наших вычислений получилось, что в треугольнике ВМN квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, ВN2=ВМ2+ NМ2 , 63 = 45 + 18. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ВМN – прямоугольный с прямым углом ВМN. Первое утверждение доказано.
б) проведём перпендикуляр NР к прямой А1В1. Тогда имеем, что отрезок NР перпендикулярен к А1В1 и к АА1 (так как АА1 перпендикулярен к плоскости А1В1С1, а значит и к любой прямой лежащей в этой плоскости). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, NР перпендикулярен плоскости АВВ1. Поэтому МР – проекция прямой МN на плоскость АВВ1.
Прямая ВМ перпендикулярна МN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна МР. Следовательно, угол NМР – линейный угол двугранного угла NМВР, образованного плоскостями ВМN и АВВ1. Его и надо найти.
Проведём С1К – высоту треугольника А1В1С1, она равна высоте треугольника АВС, а её мы нашли С1К = ВН = 3* корень из 3. Перпендикуляр NР является средней линией треугольника С1КА1 и равен половине С1К. NР = 0,5*3* корень из 3. МN нами уже найдено, МN = 3* корень из 2.
Значит sin NMP = NP/NM.
Ответ: б) arcsin(корень из 3/8).
В критериях оценивания этой задачи сказано, что 2 балла даётся если обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. Один балл сдающий получает, если верно решён один из этих пунктов.