Бинома Ньютона
1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) n равна 2 n .
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.
Домашнее задание по теме Бином Ньютона. Срок выполнения 31.01.2017
Как обычно, ответы заносим в googleформу. Удачи)))
Для справки (потребуется при решении задачи):
Каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим между своими соседними членами.
Это формула, представляющая выражение ( a + b ) n при натуральном n в виде многочлена:
(a+b)n=an+Cn1 ·an-1 ·b+Cn2 ·an-2 ·b2+
+Cn3 ·an-3 ·b3+…+Cnn-1· a· bn-1+bn
Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n, т.е. все одночлены, входящие в это разложение имеют одинаковую степень n.
Числа Сn1; Cn2; Cn3;… Cnn называются биномиальными коэффициентами.
Т.о., член разложения бинома ( a + b ) n , стоящий на (к+1)-ом месте, выражается следующим образом:
Tk+1=Cnk·bk·an-k,
а если учесть, что разложение может быть такого вида ( a - b ) n, то
Tk+1=(-1)k ·Cnk·bk·an-k , где k может принимать все значения от 0 до n.
Всего в разложении бинома (n+1) слагаемое.
Напомним формулу числа сочетаний
Т.о., член разложения бинома ( a + b ) n , стоящий на (к+1)-ом месте, выражается следующим образом:
Tk+1=Cnk·bk·an-k,
а если учесть, что разложение может быть такого вида ( a - b ) n, то
Tk+1=(-1)k ·Cnk·bk·an-k , где k может принимать все значения от 0 до n.
Всего в разложении бинома (n+1) слагаемое.
Напомним формулу числа сочетаний
Из этой формулы ясно, что Cnk=Cnn-k
Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все n элементов. Значит, Cnn=1; Cn0=1
Происходит это потому, что 0!=1 по определению.
Биномиальные коэффициенты можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:
Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:
( a + b )7 ,
мы можем получить результат моментально, используя таблицу:
(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
Свойства биномиальных коэффициентов1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) n равна 2 n .
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.
Это свойство следует из соотношения: Cnk=Cnn-k
3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2n-1
Домашнее задание по теме Бином Ньютона. Срок выполнения 31.01.2017
Как обычно, ответы заносим в googleформу. Удачи)))
Для справки (потребуется при решении задачи):
Каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим между своими соседними членами.